Технические разделы

Исследование системы на устойчивость по критерию Гурвица

Критерий Гурвица: при положительных коэффициентах характеристического уравнения линейной системы с характеристическим полиномом D(p)= a0´pn + a1´pn-1 +…+ an-1´p + an для её устойчивости должны быть больше нуля все n главных определителей матрицы Гурвица:

Характеристический полином:

(2.2)

Приравняем характеристический полином к нулю D(p)=0:

(2.3)

Разложим функцию в ряд Маклорена

Для упрощения расчетов будем рассматривать первые три члена, т.к. остальные малы:

(2.4)

Мы можем себе это позволить, поскольку значение выражения отличается от значения меньше, чем на 5%.

Проведем расчеты с помощью MathCad:

Тогда, с учетом выражения (2.4), выражение (2.3) примет вид:

(2.5)

Подставив числовые значения

550(с-1);

Т = 0,15492(c) - новая постоянная времени двигателя;

x =0,96825- параметр затухания;

t = 0,009 (с) - время чистого запаздывания;

Tт =0,05 c - постоянная времени термопары.

, (2.6)

где:

;

;

;

;

.

Очевидно, что необходимое условие устойчивости не выполняется, т.к. a3<0. Тем не менее, найдём определители матрицы Гурвица. Формируем матрицу Гурвица. На главной диагонали записываем все коэффициенты, начиная с первого. Далее заполняем строки: четными коэффициентами по порядку, если на главной диагонали стоит четный коэффициент, и нечетными, если на главной диагонали стоит нечетный коэффициент. Если какой-либо коэффициент отсутствует, то вместо него заносится нуль.

С учетом коэффициентов матрица Гурвица примет вид:

Для оценки устойчивости системы необходимо вычислить определители Гурвица Di (i=1,2,…,n), которые получаются из матрицы путем отчеркивания равного количества строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы. Для устойчивости системы все определители матрицы должны быть положительными:

Данные определители можно посчитать вручную, а можно с использованием программы MathCad. Для этого запишем матрицу Гурвица:

и рассчитаем ее определители:

Третий и четвёртый определители матрицы Гурвица меньше нуля, значит система неустойчива.

Еще статьи по технике и технологиям

Электропитание устройств и систем связи
Выбор оптимального варианта структуры выпрямительного устройства (ВУ) Исходные данные решаемого варианта 1 (№ 087025) Таблица 1.1 - Исходные данные для расчёта Число фаз питающей сети, Частота сети, ГцФорма ...

Разработка цифрового вольтметра
Современный этап научно-технического прогресса характеризуется повсеместным внедрением принципиально новой техники. Ускорение научно-технического прогресса в значительной степени зависит от успехов современной микроэлектроники, я ...

© 2021 | www.techexpose.ru