Дано:
Общая расчетная схема системы автоматического управления:
Хвх Хвых
- -
Дифференциальные уравнения передаточныхфункций (по варианту задания):
W1 0,25·Хвых(р) = 3р·Хвх(р)
W2 (2,25р2+3р+1)·Хвых(р) = Хвх(р)
W3 (0,4р+1)·Хвых(р) = 6·Хвх(р)
Местная обратная связь считается отрицательной по варианту задания.
Найти:
1) передаточную функцию разомкнутой цепи WR(p), передаточную функцию замкнутой системы Ф(p) и определить устойчивость системы двумя предложенными способами;
) построить переходной процесс системы при подаче на вход сигнала в виде единичной ступеньки;
) сделать выводы о работоспособности и динамических параметрах системы.
Решение:
Находим передаточные функции элементов САУ на основе заданных дифференциальных уравнений звена в операторной форме записи:
Находим передаточную функцию второго звена при наличии местной обратной связи:
,
де -
передаточная функция сумматора по входу обратной связи равная минус единице,
т.к. по условию обратная связь отрицательная.
Находим передаточную функцию прямой цепи управления в разомкнутом виде:
Находим передаточную функцию САУ в замкнутом виде (при наличии внешней обратной связи):
, где
линейна система автоматическое управление
Исследование системы на устойчивость по критерию Гурвица
Из коэффициентов характеристического уравнения D(p) построим матрицу Гурвица Δn:
D(p)
=
Δn =
Рассмотрим определители Гурвица:
Δ1= 1,95 Δ1>0
Δ2= 66,4 Δ2>0
Δ3= 1295,256 Δ3>0
Δ4= 971,44 Δ4>0
Так как главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры больше нуля, то данная САУ устойчива на основании критерия Гурвица.
Исследование системы на устойчивость по критерию Михайлова
D(p) = (jω)
= a0(jω)n
+ a1(jω)n-1
+ … +
an , гдеD(jω) =
an - an-2ω2 +
an-4ω4 +
…D(jω) =
an-1 jω -
an-3 jω3 +
an-5 jω5+ …
Тогда у нас получается ReD(jω) = 0,75 - 38,5625ω2 + 0,45 ω4
JmD(jω) = j(19,55ω - 1,95ω3)
ω |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
7 |
10 |
Re |
0,75 |
-37,3625 |
-146,3 |
-309,863 |
-501,05 |
-682,063 |
-808,363 |
644,5 |
Jm |
0 |
17,6 |
23,5 |
6 |
-46,6 |
-146 |
-532 |
-1754,5 |
Годограф Михайлова для данной САУ начинается на действительной положительной полуоси и проходит без петель в положительном направлении 4 квадрантане пересекая начало координат. Так как система 4 порядка, то она устойчива.
Рис.1 - Годограф Михайлова
Построение переходного процесса
По виду передаточной функции системы в замкнутом виде
найдём корни характеристического уравнения системы управления с помощью программы MathCAD:
,45р4 + 1,95р3 + 38,5625р2 + 19,55р + 0,75 = 0 | /0,45
р4 + 4,333р3 + 85,694р2 + 43,444р + 1,667 = 0 - для задания функции в MathCAD
p1 = -0,0418
p2 = -0,4764
p3 = -1,9076 - 8,9475·i
p4 = -1,9076 + 8,9475·i
Так как среди корней характеристического уравнения имеются действительные и комплексные, кривую переходного процесса запишем в следующем виде:
где и
D’ = 1,8p3 + 5,85p2 + 77,125p + 19,55
=1,01·e-0,0418·t -0,05422·e-0,4764·t
=
= 9,146
Строим график переходного процесса в MathCAD:
Рис.2 - График переходного процесса
Выводы:
. Данная САУ устойчива.
. Время регулирования колебательного процесса до статической ошибки примерно4 с, затемамплитуда колебаний выходного сигнала по асимптоте стремится к нулю. Время полного регулирования составляет 71,9 с.
. Анализируя корни характеристического уравнения можно сказать, что переходный процесс до 5-й секунды представляет собой затухающие колебания (система устойчива) с угловой частотой ω=8,9475 рад/с, периодом колебаний Т=2π/ω=0,702 сек и частотой 1,425 Гц. Коэффициент затухания δ=1,9076. Декремент колебаний еδТ=е1,34. Далее процесс идёт по асимптоте.
Разработка цифрового вольтметра
Современный этап научно-технического прогресса характеризуется
повсеместным внедрением принципиально новой техники. Ускорение
научно-технического прогресса в значительной степени зависит от успехов
современной микроэлектроники, я ...
Электронные системы сбора новостей
В
наше беспокойное, насыщенное событиями время телезрители испытывают неизменный
интерес к актуальной информации о происходящем в стране, и если еще в недалеком
прошлом информационные выпуски в основном состояли из отснятых ранее
виде ...