Функциональный и качественный анализ работы линейных систем автоматического управления

Дано:

Общая расчетная схема системы автоматического управления:

Хвх Хвых

- -

Дифференциальные уравнения передаточныхфункций (по варианту задания):

W1 0,25·Хвых(р) = 3р·Хвх(р)

W2 (2,25р2+3р+1)·Хвых(р) = Хвх(р)

W3 (0,4р+1)·Хвых(р) = 6·Хвх(р)

Местная обратная связь считается отрицательной по варианту задания.

Найти:

1) передаточную функцию разомкнутой цепи WR(p), передаточную функцию замкнутой системы Ф(p) и определить устойчивость системы двумя предложенными способами;

) построить переходной процесс системы при подаче на вход сигнала в виде единичной ступеньки;

) сделать выводы о работоспособности и динамических параметрах системы.

Решение:

Находим передаточные функции элементов САУ на основе заданных дифференциальных уравнений звена в операторной форме записи:

Находим передаточную функцию второго звена при наличии местной обратной связи:

,

де - передаточная функция сумматора по входу обратной связи равная минус единице, т.к. по условию обратная связь отрицательная.

Находим передаточную функцию прямой цепи управления в разомкнутом виде:

Находим передаточную функцию САУ в замкнутом виде (при наличии внешней обратной связи):

, где

линейна система автоматическое управление

Исследование системы на устойчивость по критерию Гурвица

Из коэффициентов характеристического уравнения D(p) построим матрицу Гурвица Δn:

D(p) =

Δn =

Рассмотрим определители Гурвица:

Δ1= 1,95 Δ1>0

Δ2= 66,4 Δ2>0

Δ3= 1295,256 Δ3>0

Δ4= 971,44 Δ4>0

Так как главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры больше нуля, то данная САУ устойчива на основании критерия Гурвица.

Исследование системы на устойчивость по критерию Михайлова

D(p) = (jω) = a0(jω)n + a1(jω)n-1 + … + an , гдеD(jω) = an - an-2ω2 + an-4ω4 + …D(jω) = an-1 jω - an-3 jω3 + an-5 jω5+ …

Тогда у нас получается ReD(jω) = 0,75 - 38,5625ω2 + 0,45 ω4

JmD(jω) = j(19,55ω - 1,95ω3)

ω	0	1	2	3	4	5	7	10
Re	0,75	-37,3625	-146,3	-309,863	-501,05	-682,063	-808,363	644,5
Jm	0	17,6	23,5	6	-46,6	-146	-532	-1754,5

Годограф Михайлова для данной САУ начинается на действительной положительной полуоси и проходит без петель в положительном направлении 4 квадрантане пересекая начало координат. Так как система 4 порядка, то она устойчива.

Рис.1 - Годограф Михайлова

Построение переходного процесса

По виду передаточной функции системы в замкнутом виде

найдём корни характеристического уравнения системы управления с помощью программы MathCAD:

,45р4 + 1,95р3 + 38,5625р2 + 19,55р + 0,75 = 0 | /0,45

р4 + 4,333р3 + 85,694р2 + 43,444р + 1,667 = 0 - для задания функции в MathCAD

p1 = -0,0418

p2 = -0,4764

p3 = -1,9076 - 8,9475·i

p4 = -1,9076 + 8,9475·i

Так как среди корней характеристического уравнения имеются действительные и комплексные, кривую переходного процесса запишем в следующем виде:

где и

D’ = 1,8p3 + 5,85p2 + 77,125p + 19,55

=1,01·e-0,0418·t -0,05422·e-0,4764·t

== 9,146

Строим график переходного процесса в MathCAD:

Рис.2 - График переходного процесса

Выводы:

. Данная САУ устойчива.

. Время регулирования колебательного процесса до статической ошибки примерно4 с, затемамплитуда колебаний выходного сигнала по асимптоте стремится к нулю. Время полного регулирования составляет 71,9 с.

. Анализируя корни характеристического уравнения можно сказать, что переходный процесс до 5-й секунды представляет собой затухающие колебания (система устойчива) с угловой частотой ω=8,9475 рад/с, периодом колебаний Т=2π/ω=0,702 сек и частотой 1,425 Гц. Коэффициент затухания δ=1,9076. Декремент колебаний еδТ=е1,34. Далее процесс идёт по асимптоте.

Еще статьи по технике и технологиям

Характеристика сетей и технологий Integrated Services Digital Network
В данной работе рассматривается тема "Характеристика сетей и технологий ISDN". ISDN - цифровая сеть комплексного обслуживания. В соответствии с определением МСЭ ISDN - это сеть, обеспечивающая полностью цифровые соединения м ...

Расчёт усилителя постоянного тока на операционном усилителе
tmin = - 30˚C, tmax = + 50˚C, КUос = 50 Рисунок 1 - Схема операционного усилителя ...