Функциональный и качественный анализ работы линейных систем автоматического управления

Дано:

Общая расчетная схема системы автоматического управления:

Хвх Хвых

- -

Дифференциальные уравнения передаточныхфункций (по варианту задания):

W1 0,25·Хвых(р) = 3р·Хвх(р)

W2 (2,25р2+3р+1)·Хвых(р) = Хвх(р)

W3 (0,4р+1)·Хвых(р) = 6·Хвх(р)

Местная обратная связь считается отрицательной по варианту задания.

Найти:

1) передаточную функцию разомкнутой цепи WR(p), передаточную функцию замкнутой системы Ф(p) и определить устойчивость системы двумя предложенными способами;

) построить переходной процесс системы при подаче на вход сигнала в виде единичной ступеньки;

) сделать выводы о работоспособности и динамических параметрах системы.

Решение:

Находим передаточные функции элементов САУ на основе заданных дифференциальных уравнений звена в операторной форме записи:

Находим передаточную функцию второго звена при наличии местной обратной связи:

,

де - передаточная функция сумматора по входу обратной связи равная минус единице, т.к. по условию обратная связь отрицательная.

Находим передаточную функцию прямой цепи управления в разомкнутом виде:

Находим передаточную функцию САУ в замкнутом виде (при наличии внешней обратной связи):

, где

линейна система автоматическое управление

Исследование системы на устойчивость по критерию Гурвица

Из коэффициентов характеристического уравнения D(p) построим матрицу Гурвица Δn:

D(p) =

Δn =

Рассмотрим определители Гурвица:

Δ1= 1,95 Δ1>0

Δ2= 66,4 Δ2>0

Δ3= 1295,256 Δ3>0

Δ4= 971,44 Δ4>0

Так как главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры больше нуля, то данная САУ устойчива на основании критерия Гурвица.

Исследование системы на устойчивость по критерию Михайлова

D(p) = (jω) = a0(jω)n + a1(jω)n-1 + … + an , гдеD(jω) = an - an-2ω2 + an-4ω4 + …D(jω) = an-1 jω - an-3 jω3 + an-5 jω5+ …

Тогда у нас получается ReD(jω) = 0,75 - 38,5625ω2 + 0,45 ω4

JmD(jω) = j(19,55ω - 1,95ω3)

ω	0	1	2	3	4	5	7	10
Re	0,75	-37,3625	-146,3	-309,863	-501,05	-682,063	-808,363	644,5
Jm	0	17,6	23,5	6	-46,6	-146	-532	-1754,5

Годограф Михайлова для данной САУ начинается на действительной положительной полуоси и проходит без петель в положительном направлении 4 квадрантане пересекая начало координат. Так как система 4 порядка, то она устойчива.

Рис.1 - Годограф Михайлова

Построение переходного процесса

По виду передаточной функции системы в замкнутом виде

найдём корни характеристического уравнения системы управления с помощью программы MathCAD:

,45р4 + 1,95р3 + 38,5625р2 + 19,55р + 0,75 = 0 | /0,45

р4 + 4,333р3 + 85,694р2 + 43,444р + 1,667 = 0 - для задания функции в MathCAD

p1 = -0,0418

p2 = -0,4764

p3 = -1,9076 - 8,9475·i

p4 = -1,9076 + 8,9475·i

Так как среди корней характеристического уравнения имеются действительные и комплексные, кривую переходного процесса запишем в следующем виде:

где и

D’ = 1,8p3 + 5,85p2 + 77,125p + 19,55

=1,01·e-0,0418·t -0,05422·e-0,4764·t

== 9,146

Строим график переходного процесса в MathCAD:

Рис.2 - График переходного процесса

Выводы:

. Данная САУ устойчива.

. Время регулирования колебательного процесса до статической ошибки примерно4 с, затемамплитуда колебаний выходного сигнала по асимптоте стремится к нулю. Время полного регулирования составляет 71,9 с.

. Анализируя корни характеристического уравнения можно сказать, что переходный процесс до 5-й секунды представляет собой затухающие колебания (система устойчива) с угловой частотой ω=8,9475 рад/с, периодом колебаний Т=2π/ω=0,702 сек и частотой 1,425 Гц. Коэффициент затухания δ=1,9076. Декремент колебаний еδТ=е1,34. Далее процесс идёт по асимптоте.

Еще статьи по технике и технологиям

Расчет надежности радиоэлектронных устройств
Оценка показателей надежности радиоэлектронных устройств (РЭУ) является обязательной процедурой, выполняемой на этапе проектирования аппаратуры. Актуальность задач по расчету надежности объясняется тем, что они дают ответ на вопрос о ц ...

Электрические схемы RC- и RL-цепи
В настоящее время имеется большое количество различных пакетов прикладных программ (ППП), используемых в инженерной практике. Графические интерфейсы многих ППП представляют собой стандартный многооконный интерфейс с ниспадающими и разв ...